多重集合は、要素の重複を許容する集合の一種であり、理論的および応用的な可能性を広げる。本論文では、まず従来の集合の主な側面を振り返り、その後、多重集合の基本的な概念や特性を紹介する。さらに、多重集合をベクトルや行列に一般化し、実際の負の重複を許可するアプローチを提案。これにより、多重集合は有限で明確な定義を持ち、補完演算が定義され、デ・モルガンの定理を含む補完に関連する性質を回復できるようになる。また、多重集合は関数やスカラー場、他の連続的数学構造に拡張され、代数演算と集合論的演算が組み合わさった空間として機能する。m関数の共通積のような新たな集合演算を定義し、信号処理やパターン認識、深層学習における多重集合の可能性も探る。